Александр Адабашьян родился в Москве в семье армян Артёма Адабашьяна и Валентины Бархударовой. Воспитывался в русской культуре, армянским языком не владеет. В 1962 году он поступил в Московское высшее художественно-промышленное училище (бывшее Строгановское). В 1964 году был призван на службу в армию. Отслужив три года, вернулся в училище. В 1971 году окончил факультет художественной обработки металлов. В 1970 году во время летней практики работал на съёмках дипломной работы своего друга Никиты Михалкова «Спокойный день в конце войны» как декоратор (под руководством художника-постановщика И. В. Шретер)[8]. В качестве художника-постановщика (совместно с Алексеем Родионовым) принял участие в съёмках режиссёрского дебюта Сергея Никоненко - короткометражного фильма «Петрухина фамилия». Творческое сотрудничество с Никитой Михалковым продолжилось на съёмках картины «Свой среди чужих, чужой среди своих» и «Раба любви» (художник-постановщик), а в следующих фильмах Михалкова Александр Адабашьян выступил также как сценарист («Неоконченная пьеса для механического пианино», «Пять вечеров», «Несколько дней из жизни Обломова», «Очи чёрные»). Кроме этого, Александр Адабашьян сыграл более сорока эпизодических ролей, создав на экране яркие запоминающиеся образы, такие, как: инженер Тимофеев в «Пяти вечерах», дворецкий Бэрримор в «Собаке Баскервилей», Берлиоз в телесериале «Мастер и Маргарита». В 1990 году дебютировал в качестве режиссёра, сняв французский фильм «Мадо, до востребования», включённый на Каннском фестивале в программу «Перспективы французского кино» и получивший в ней главный приз. В 2002 году Адабашьян экранизировал роман Б. Акунина «Азазель». На конечной стадии съёмок возникли разногласия с продюсерами «Первого канала», режиссёр не смог отстоять собственную концепцию фильма и снял свою фамилию из титров. В 1997 году поставил в Мариинском театре оперу «Борис Годунов», а в 1998 - «Хованщину» в театре Ла Скала. Занимался дизайном интерьеров, оформил для ресторатора Антона Табакова рестораны «Обломов», «Антонио», «Грибоедов». 11 марта 2014 года подписал обращение деятелей культуры Российской Федерации в поддержку политики президента РФ В. В. Путина на Украине и в Крыму.